3.3 Le periodicità limitate, illimitate, posticipate, anticipate e le loro accumulazioni

PERIODICITÀ

Valori monetari che si ripetono costantemente ogni certo numero di anni all'inizio (anticipate) o alla fine (posticipiate) del periodo

possono essere

ANTICIPATE O POSTICIPATE LIMITATE

ANTICIPATE O POSTICIPATE ILLIMITATE

danno luogo ai seguenti quesiti finanziari

QUESITI FINANZIARI

ricerca della loro accumulazione finale
ricerca della loro accumulazione iniziale
ricerca della loro accumulazione intermedia

Le poliannualità sono valori monetari che si ripetono costantemente ogni certo numero di anni. Come nel caso delle annualità, si dividono in anticipate (se si verificano all'inizio del periodo) o posticipate (se si verificano alla fine del periodo) e limitate (se si ripetono per un numero finito di volte) o illimitate (se si ripetono con una determinata frequenza, ma illimitatamente nel tempo).

Ricerca dell'accumulazione finale di periodicità limitate

Si tratta di sommare valori monetari poliennali alla fine di un periodo di tempo limitato.

Si rappresentano graficamente come di seguito:

DOVE

n è il numero degli anni del periodo poliennale;
t è il numero dei periodi considerati.

In caso di periodicità posticipate l'accumulazione finale sarà data da:

Questa formula si può scrivere anche nel modo seguente:

L'utilizzo delle tavole finanziarie per la ricerca dei coefficienti ne facilita il calcolo.

ESERCIZIO 22

Calcolare i ricavi finali di un bosco ceduo che viene tagliato ogni 20 anni fornendo € 42.000 e che ha una durata economica prevista di 100 anni con r = 0,03.

Il numero n è rappresentato da 20 anni. Il numero dei periodi t si ottiene dividendo la durata economica per n, cioè:

t = 100/20 = 5

L'accumulazione finale sarà data da:

S₁₀₀ = P x (q^20x5 - 1/q²⁰ - 1) = 42.000 x 18,218 x 1,240 = 948.793 €

Ricerca dell'accumulazione finale di periodicità anticipate limitate

Il coefficiente di accumulazione finale rimane lo stesso: si deve soltanto posticipare la periodicità allo stesso modo della annualità, moltiplicando p per qⁿ:

ESERCIZIO 23

Un capitale è investito in BOT per 15 anni e fornisce un reddito triennale anticipato costante di € 4.800. Sapendo che r = 0,02 calcolare il reddito netto finale alla fine del quindicesimo anno.

Applicando la formula, si ottiene:

S₁₅ = P x q³ x (q^5x3 - 1/q³ - 1) = 4.800 x 1,0612 x 0,345 x 16,337 = 27.054 €

Ricerca dell'accumulazione iniziale di periodicità limitate

Si tratta di sommare valori monetari poliennali all'inizio di un periodo limitato. Si rappresentano graficamente come di seguito:

In caso di periodicità posticipate l'accumulazione iniziale sarà data da:

dove 1/q^txnè il coefficiente di anticipazione.

ESERCIZIO 24

Determinare il capitale che, messo a frutto al tasso del 2,5%, consente di sostenere una spesa di manutenzione di un fabbricato per € 5.700 ogni 3 anni, fino al 15° anno.

Applicando la formula, si ottiene:

S₀ = P x (q^5x3 - 1/q³ - 1 x 1/q^5x3) = 5.700 x 5,8290 x 0,6904 = 22.938,82 €

I coefficiente 5,8290 e 0,6904 sono ottenuti utilizzando il foglio elettronico o le tavole finanziare.

Ricerca dell'accumulazione iniziale di periodicità anticipate limitate

Il coefficiente di accumulazione iniziale rimane lo stesso, si deve soltanto posticipare la periodicità allo stesso modo dell'annualità, moltiplicando p per qⁿ:

ESERCIZIO 25

Per la manutenzione di una macchina si prevede una spesa biennale anticipata di € 450. Si vuol conoscere il capitale iniziale da investire attualmente con un saggio del 2% per garantire l’efficienza della macchina per altri 12 anni.

Applicando la formula, si ottiene:

S₀ = P x q² x (q^6x2 - 1/q² - 1) x 1/q^6x2 = 450 x 1,0404 x 0,2682 x 24,752 = 2.450,35 €

Ricerca dell'accumulazione intermedia di periodicità limitate

Si tratta di accumulare le periodicità in un momento intermedio del periodo poliennale limitato. Possiamo calcolare l'accumulazione intermedia partendo sia da S₀ che da S_n spostandoci avanti o indietro nel tempo coi coefficienti di posticipazione (q^m) o anticipazione (q^tn-m).
Nel primo caso avremo:

ovvero:

S_m = P x q^txn - 1/qⁿ - 1 x 1/q^txn x q^m

S_m = S_tn x 1/q^txn-m

ovvero:

S_m = P x q^txn - 1/qⁿ - 1 x 1/q^txn-m

In caso di periodicità anticipate, è sufficiente posticipare la periodicità e applicare i coefficienti sopra riportati. Per cui, si avrà:

S = S0 x qm

ovvero:

Sm = P x qn x qtxn - 1/qn - 1 x 1/qtxn x qm

partendo dall'accumulazione iniziale.

Se invece si parte da quella finale, si ottiene

Sm = Stn x 1/qtxn-m

ovvero:

S_m = P x qⁿ x q^txn - 1/qⁿ - 1 x 1/q^txn-m

ESERCIZIO 26

A causa della sua vicinanza a un corso d’acqua a carattere torrentizio, un terreno è sottoposto da circa 15 anni a inondazioni cicliche costanti. Generalmente viene inondato a cadenza quinquennale, provocando danni economici per circa € 7.000. Per mettere in sicurezza l’area è prevista la costruzione di un argine che sarà ultimato entro 10 anni. Si prevedono pertanto ancora due inondazioni. Per r = 3,5%, si vuol conoscere a oggi l’ammontare del danno.

Partendo dall'accumulazione iniziale si ottiene:

S₁₅= P x (q^5x2 - 1/q² - 1 x 1/q^5x2) = 7.000 x 0,4105 x 14,040 x 0,7089 = 28.600 €

Ricerca dell'accumulazione iniziale di periodicità illimitate

Anche in questo caso si distinguono in periodicità posticipate e anticipate. Quelle posticipate si rappresentano graficamente come di seguito:

Per calcolare l'accumulazione iniziale in caso di periodicità posticipate queste si moltiplicano per il coefficiente dell'accumulazione iniziale, ovvero:

Se invece le periodicità sono anticipate, avremo:

Queste formule sono utili nella ricerca di valori di beni che producono redditi costanti poliennali illimitati, tipo i fondi agrari con indirizzo a colture poliennali. Infatti sono anche chiamate formule della capitalizzazione e in questo caso S₀ = V₀

ESERCIZIO 27

Un bosco ceduo fornisce ogni 15 anni un reddito di € 75.000 posticipati. Si vuol conoscere il valore dell’accumulazione iniziale di tali redditi, ovvero il valore del capitale fondiario, con r = 1,5%.

Applicando la formula, si ottiene:

S₀ = P x (1/q¹⁵ - 1) = 75.000 x 3,9962 = 299.715 €

Questo risultato corrisponde approssimativamente anche al valore di mercato del fondo (cioè V₀).

Richiami di statistica

Di seguito si riporta una sintesi delle principali funzioni statistiche che possono avere applicazione in campo agrario.

Nella tabella sottostante, nella colonna a sinistra sono riportate le funzioni e nella colonna a destra un esempio applicativo.

Funzione

Esempio applicativo

Media aritmetica

È la somma di tutte le varianti divisa per il loro numero.

Calcolare la media produttiva di tre appezzamenti di terreno coltivati a frumento che hanno prodotto rispettivamente:
a) 5 t/ha, b) 5,5 t/ha e c) 4,3 t/ha

Media = ( 5 + 5,5 + 4,3 )/3 =4,93 t/ha

Mediana

Rappresenta il valore che si colloca a metà di una distribuzione ordinata di dati.

Calcolare la mediana della seguente serie di valori rappresentanti le produzioni di 7 diversi appezzamenti: 2 6 7 4 4 6 5

Ordinati saranno: 2 4 4 5 6 6 7

Mediana = 5

Moda

È il valore (o i valori) più frequente in una sequenza di dati. Se non c'è nessun valore che si presenta più frequentemente degli altri la serie di dati risulta senza moda.

Calcolare la moda della seguente serie di dati rappresentanti le produzioni di diversi appezzamenti:

1 2 4 1 5 5 8 9 5 1

Moda = 1 e 5

Scarto medio

Consiste nel calcolare la distanza, in valore assoluto, di tutti i dati della media ed eseguire la media aritmetica di tali distanze. Se lo scarto risulta piccolo i dati della serie sono concentrati; viceversa, sono dispersi o molto dispersi.

Di una serie di 5 dati 1 7 9 14 19 la cui media è 10 (50/5 = 10) calcolare lo scarto medio.

Si calcola prima la distanza, in valore assoluto, dalla media 10 - 1;

10 - 7; 10 - 9; 14 - 10; 19 - 10 e cioè 9 3 1 4 9;

Si esegue poi la media dei valori ottenendo lo scarto medio: 26/5 = 5,2

Varianza

Rappresenta la media aritmetica dei quadrati delle distanze dei dati dalla media.

In sintesi:

Varianza = ∑(x-m)²/N

Dove:

x sono le singole osservazioni;
M è la media delle osservazioni;

N è il numero delle osservazioni.

Prezzi di vendita del grano (in €): 33, 32, 33, 34, 30, 36, 32, 34, 34, 3l.

La media sarà:

(33, 32, 33, 34, 30, 36, 32, 34, 34, 31)/10 = 32,9 €.

Gli scarti rispetto alla media saranno: 32,9 - 33; 32,9 - 32; 32,9 -33; 32,9 - 34; 32,9 - 30; 32,9 - 36; 32,9 - 32; 32,9 - 34; 32,9 - 34; 32,9 - 31.

La somma dei quadrati degli scarti è:

- 0,1² + 0,9² ± 0,1² ± 1,1² + 2,9² ± 3,1² + 0,9² ± 1,1² ± 1,1² + 1,9² = 0,01 + 0,81 + 0,01 + 1,21 + 8,41 + 9,61 + 0,81 + 1,21 + 1,21 + 3,61 = 26,90/10 = 2,69

La varianza è di 2,69 €.

Deviazione standard

Detta anche scarto quadratico medio, fornisce un'indicazione numerica di quanto i dati siano vicini o lontani dalla media.

È indicata con la lettera σ (sigma) ed è ottenuta dalla radice quadrata della varianza:

Dev st. = √∑(x-M)²/N

Utilizzando i dati dell'esempio precedente, dove è stata ricercata la varianza avremo:

deviazione standard = √2,69 = 1,64

STOP E SINTESI

Le periodicità limitate, illimitate, posticipate, anticipate e le loro accumulazioni

Quali sono le colture che danno origine solitamente a una periodicità?

Sono i boschi che hanno un ciclo poliennale durante il quale si hanno solo spese e danno un reddito solamente al momento del taglio ogni 15-20 anni.

Si può capitalizzare una periodicità?

Si, come nel caso delle annualità, solo se questa è illimitata.

Qual è la differenza tra poliannualità limitata e illimitata?

Le poliannualità limitate si ripetono per un numero finito di volte mentre quelle illimitate si ripetono con una certa frequenza, ma illimitatamente nel tempo.

Come si ricerca l’accumulazione finale delle periodicità anticipate limitate?

Si moltiplica il valore per il coefficiente di accumulazione finale e lo si posticipa con lo stesso coefficiente utilizzato per le annualità.

Come si ricerca l’accumulazione intermedia di periodicità limitate?

Si effettua spostandoci avanti o indietro nel tempo con i coefficienti di posticipazione e anticipazione partendo da S₀ o S_tm.

STOP AND SUMMARY

Limited, unlimited, postponed or early periodical income and their accumulation

Which are the crops that usually provide periodical income?

Woods have a pluriannual cycle with yearly costs untit the unique income at their cutting every 15-20 years.

Can a periodical income be capitalized?

Yes, it can for annuities only if these are limited.

What is the difference between a limited and an unlimited pluriannuity?

Limited pluriannuities repeat themselves for a limited number of times while the unlimited repeat themselves with a given frequency, but indefinitely over time.

How is the final accumulation of early limited pe-riodical income calculated?

The value is multiplied by the final accumulation co-efficient and it is postponed with the same coefficient used for annuities.

How is the intermediate accumulation of limited periodical income calculated?

It is calculated moving forward or backward in time with postponing and anticipating coefficients leaving from S₀ or S_tm.

ECONOMIA E AGROSISTEMI

VOLUME 2