3.2 Le annualità limitate, illimitate, posticipate, anticipate e le loro accumulazioni

ANNUALITÀ
Valori monetari che si ripetono costantemente ogni anno all'inizio (anticipate) o alla fine (posticipate)
possono essere
ANTICIPATE O POSTICIPATE LIMITATE
ANTICIPATE O POSTICIPATE ILLIMITATE
QUESITI FINANZIARI

  • ricerca della loro accumulazione finale

  • ricerca della loro accumulazione iniziale

  • ricerca della loro accumulazione intermedia

Le annualità sono valori monetari che si ripetono costantemente ogni anno. Possono essere anticipate (se si verificano all'inizio dell'anno) o posticipate (se si verificano alla fine dell'anno), limitate (se si ripetono per un numero finito di anni) o illimitate (se si ripetono illimitatamente nel tempo).

Ricerca dell'accumulazione finale di annualità limitate

Si tratta di sommare valori monetari annui alla fine di un periodo poliennale limitato.

Nel caso delle annualità posticipate il grafico sarà il seguente:

Per eseguire l'accumulazione finale di un certo numero n di annualità, si dovrà moltiplicare il valore della singola annualità a per il coefficiente di accumulazione finale delle annualità costanti limitate posticipate, pertanto la formula da utilizzare è la seguente:


DOVE

r è il saggio;
q è uguale a 1 + r;

n è uguale al numero delle annualità, ovvero di anni.

Per un veloce uso del coefficiente si possono adoperare le tavole finanziarie, conoscendo il saggio.

ESERCIZIO 13

In 8 anni per un investimento fondiario si spendono, alla fine di ogni anno, € 3.250. Si vuol conoscere la somma complessiva spesa alla fine del sesto anno per r = 5%.

Applicando la formula, si ottiene:

S6 = a x (q8 - 1/r) x 1/q2 = 3.250 x 9,549 x 0,907 = 28.148 €

Formule inverse


L'inverso del coefficiente di accumulazione finale dà origine al coefficiente della reintegrazione.

Si tratta di un processo finanziario mediante il quale si ricostituisce, con rate annue costanti posticipate, il capitale speso.

Il coefficiente è dato da:


Se moltiplicato per il valore monetario del capitale, si ottiene l'ammontare della rata annua da accantonare per ricostituire il capitale.


ESERCIZIO 14

Una trattrice agricola è stata acquistata per € 55.000; attualmente ha un’età di 6 anni, verrà utilizzata per altri 19 anni. Al saggio del 4% si vuol conoscere la quota annua di reintegrazione della macchina.

Applicando la formula, si ottiene:

Qr = V0 x (r/q25 - 1) = 55.000 x 0,0224 = 1.232 €

Ricerca dell'accumulazione finale di annualità limitate anticipate

Le annualità anticipate devono essere soltanto posticipate alla fine dell'anno, moltiplicandole per il coefficiente di posticipazione q; il coefficiente di accumulazione finale rimane lo stesso.

Quindi avremo:



ESERCIZIO 15

All’inizio di ogni anno, e per cinque anni, si devono versare € 4.300 a una assicurazione. Per r 5 0,03, si vuol conoscere l’ammontare versato.
Applicando la formula, si ottiene:
S5 = a x q x (q5 - 1/r) = 4.300 x 1,03 x 5,3091 = 23.514 €

Ricerca dell'accumulazione iniziale di annualità limitate

Si tratta di sommare valori monetari annui all'inizio di un periodo poliennale limitato.

In caso di annualità posticipate la rappresentazione grafica sarà la seguente:

Quindi, per eseguire l'accumulazione iniziale di un certo numero n di annualità, si dovrà moltiplicare il valore della singola annualità a per il coefficiente di accumulazione iniziale delle annualità costanti limitate posticipate e quindi la formula sarà:



DOVE

r è il saggio;

q è uguale a (1 + r);

n è uguale al numero delle annualità.

ESERCIZIO 16

Per l’estinzione di un debito rimangono da pagare 6 annualità posticipate di € 2.400 ciascuna. Il debitore vuol pagare tutte le rate per estinguere il debito. Stabilire l’ammontare del pagamento per r = 0,045.

Applicando la formula, si ottiene:

S0 = a x (q6 - 1/rq6) = 2.400 x 5,1578 = 12.378,72 €

Il coefficiente 5,1578 è stato ottenuto utilizzando il foglio elettronico impostato per r = 0,045 e n = 6.

Formule inverse

L'inverso del coefficiente di accumulazione iniziale dà origine al coefficiente di ammortamento.

È impiegato per suddividere un debito in rate annue costanti posticipate. Moltiplicando il coefficiente per il valore monetario del debito si ottiene l'ammontare della rata annua costante da restituire per l'estinzione del debito.



DOVE

Qa è la quota annua di ammortamento;

V0 è il valore l'ammontare del debito da estinguere.

ESERCIZIO 17

Un imprenditore ha richiesto a una banca un mutuo di € 55.000 per l’acquisto di una macchina, da estinguere al 5% in 20 anni. Si determini l’ammontare della quota di restituzione annua.

Applicando la formula, si ottiene:

Qa = V0 x (rq20/q20 - 1) = 55.000 x 0,08024 = 4.413 €

Successivamente, può essere calcolato il piano di ammortamento, come riportato nella tabella seguente:

Anni

Rata

annua

Quota

interessi

Quota

capitale

Debito

estinto

Debito

residuo

0

       55.000,00

1

4.413,34

2.750,00

1.663,34

1.663,34

53.336,66

2

4.413,34

2.666,83

1.746,51

3.409,85

51.590,15

3

4.413,34

2.579,51

1.833,84

5.243,69

49.756,31

4

4.413,34

2.487,82

1.925,53

7.169,21

47.830,79

5

4.413,34

2.391,54

2.021,80

9.191,02

45.808,98

6

4.413,34

2.290,45

2.122,89

11.313,91

43.686,09

7

4.413,34

2.184,30

2.229,04

13.542,95

41.457,05

8

4.413,34

2.072,85

2.340,49

15.883,44

39.116,56

9

4.413,34

1.955,83

2.457,51

18.340,95

36.659,05

10

4.413,34

1.832,95

2.580,39

20.921,34

34.078,66

11

4.413,34

1.703,93

2.709,41

23.630,75

31.369,25

12

4.413,34

1.568,46

2.844,88

26.475,63

28.524,37

13

4.413,34

1.426,22

2.987,12

29.462,76

25.537,24

14

4.413,34

1.276,86

3.136,48

32.599,24

22.400,76

15

4.413,34

1.120,04

3.293,30

35.892,54

19.107,46

16

4.413,34

955,37

3.457,97

39.350,51

15.649,49

17

4.413,34

782,47

3.630,87

42.981,38

12.018,62

18

4.413,34

600,93

3.812,41

46.793,79

8.206,21

19

4.413,34

410,31

4.003,03

50.796,82

4.203,18

20

4.413,34

210,16

4.203,18

55.000,01

-0,01

Ricerca dell'accumulazione iniziale di annualità limitate anticipate

Le annualità anticipate vanno, anche in questo caso, solo posticipate, portandole alla fine dell'anno e moltiplicandole per il coefficiente di posticipazione q; il coefficiente di accumulazione iniziale resta lo stesso.


ESERCIZIO 18

Per la manutenzione dei fabbricati rurali, si prevede una spesa annua anticipata di € 1.700 e per 12 anni. Si vuol conoscere il capitale iniziale che, investito oggi al saggio del 3,5%, sarebbe in grado di finanziare le spese di manutenzione.

Applicando la formula, si ottiene:

S0 = a x q x (q12 - 1/rq12) = 1.700 x 1,035 x 9,6633 = 17.002,58 €

Ricerca dell'accumulazione intermedia di annualità limitate

Si tratta di accumulare le annualità in un momento intermedio del periodo poliennale limitato. Possiamo calcolare l'accumulazione intermedia partendo sia da S0 che da Sn spostandoci avanti o indietro nel tempo coi coefficienti di posticipazione (qm) o anticipazione (1/qn-m)

Nel primo caso avremo: 
Sm = S0 x qm
ovvero: 
Sm = a x qn - 1 / r x qn x qm
Nel secondo caso avremo:
Sm = Sn x 1 / qn-m
ovvero:
Sm = a x qn - 1 / r x 1 / qn-m

Lo stesso avviene in caso di annualità anticipate, ricordandosi in primo luogo di posticiparle come spiegato precedentemente.

ESERCIZIO 19

Un fondo subisce un danno annuo costante di € 6.200 che si è ripetuto negli ultimi 3 anni. Pur manutenendo lo sgrondo delle acque si prevede che anche nei successivi 4 anni si avrà lo stesso danno. Per r = 0,05 calcolare a quanto ammonta a oggi il danno.

Partendo dall’accumulazione iniziale si ottiene:

S3 = a x q7 - 1/r x q7 x q3 = 6.200 x 5,7864 x 1,15763 = 41.531 €

Allo stesso risultato si giunge partendo dall’accumulazione finale:

S3 = a x q7 - 1/r x 1/q7-3 = 6.200 x 8,142 x 0,8227 = 41.531 €

ESERCIZIO 20

Ogni anno, anticipatamente, e per 12 anni consecutivi, dovranno essere pagati € 5.000 per l’acquisto di un fabbricato. Se al quinto anno si volesse saldare il debito per r = 0,08, quanto si dovrebbe versare?

S5 = a x q x q12 - 1/r x q12 x q5 = 5.000 x 1,08 x 7.5361 x 1,46933 = 55.365 €

Ricerca dell'accumulazione iniziale di annualità illimitate

Anche in questo caso si distinguono in annualità posticipate e anticipate. Se le annualità sono posticipate, avremo:

In sostanza, per trovare l'accumulazione iniziale di annualità costanti posticipate illimitate, basta dividere l'annualità per il saggio, ovvero:



Se invece le annualità sono anticipate, è sufficiente posticipare l'annualità, come già visto in precedenza:



Queste formule sono utili per la ricerca dei valori di beni che producono redditi costanti annui illimitati, come i fondi agrari e i fabbricati. Infatti, esse sono anche chiamate formule della capitalizzazione. Per cui l'accumulazione iniziale si identifica con il V0.

V0 = a/r

V0 = a x q/r

ESERCIZIO 21

Un’azienda agricola fornisce annualmente e illimitatamente un Bf di € 36.000 posticipati. Si vuol conoscere il dell’azienda con un saggio del 2%.

Applicando la formula, si ottiene:

V0 = 36.000/0,02 = 1.800.000 €

STOP E SINTESI

Le annualità limitate, illimitate, posticipate, anticipate e le loro accumulazioni

Che cosa sono le annualità?

Sono somme di denaro che si ripetono costantemente ogni anno e possono essere anticipate o posticipate.


Qual è la differenza fra annualità anticipate e posticipate?

In base al momento in cui si verificano possono essere: anticipate se sono all'inizio dell'anno o posticipate se invece sono alla fine dell'anno.


Che cosa significa capitalizzare una somma di denaro?

Per capitalizzazione si intende accumulare all'inizio dell'anno una annualità illimitata che fornisce il capitale iniziale sulla base dei redditi futuri.


STOP AND SUMMARY

Limited, unlimited, postponed, pre-paid annuities and their accumulation

What are annuities?

Annuities are sums of money reiterated on yearly basis. They can be pre-paid or postponed.


What is the difference between pre-paid and postponed annuities?

It depends on when they are due: they are called pre-paid at the beginning and postponed at the end of the year.


What does ‘capitalize a sum of money’ mean?

By capitatization we mean storing an unlimited annuity which witt provide the start-up capital, based on future income.

ECONOMIA E AGROSISTEMI
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VOLUME 2