3.1 L’interesse e i suoi aspetti matematici

LA MATEMATICA FINANZIARIA
risolve quesiti in merito all’uso del

CAPITALE

può essere

DIFFERENZIATO

(beni strumentali)
INDIFFERENZIATO

(denaro)
con

VALORI MONETARI COSTANTI

mensilità
bimestralità
trimestralità
quadrimestralità
semestrilità
annualità
poliannualità

VALORI MONETARI VARIABILI

il compenso per il suo uso dà luogo a
INTERESSE
SEMPLICE o COMPOSTO

si misura con un parametro detto

TASSO, SAGGIO O RAGIONE

La Scienza economica si occupa delle azioni volontarie dell'uomo, ne consegue che è il bisogno la causa dell'azione volontaria dell'uomo, la cui soddisfazione è legata all'uso di beni chiamati capitali che forniscono un compenso, detto ▶interesse.
L'interesse è detto anche ▶prezzo d’uso del capitale e rappresenta il compenso che spetta al capitale in virtù dell'uso che ne viene fatto. Dipende, quindi, dalla quantità, dalla tipologia e dal tempo.

L'interesse può maturare secondo diverse modalità:

1. interesse semplice: matura in un dato periodo di tempo e non si somma al capitale di partenza;

2. interesse composto: l'interesse prodotto si somma al capitale di partenza e, a sua volta, produce ulteriori interessi.

L'interesse semplice

La formula che ci permette il calcolo dell'▶interesse semplice è la seguente:

DOVE
I è l'interesse;

C₀ è il capitale iniziale;

r è il saggio di interesse (indicato come percentuale);

t è il tempo (espresso con la frazione x/12 quando x è il numero dei mesi, con x/360 quando x è il numero dei giorni).

N.B. Il mese economico è sempre composto da 30 giorni, mentre l'anno economico è la somma di 12 mesi, ovvero 360 giorni.

ESERCIZIO 1

Calcolare l’ammontare dell’interesse di un capitale monetario di € 130.000 investito in un deposito bancario per 12 mesi al 4% annuo.

Utilizzando la formula, si ottiene il seguente risultato:

I = 130.000 € X 0,04 X 12/12 = 5.200 €

ESERCIZIO 2

Supponiamo di disporre di un capitale di € 15.000, depositato in un conto corrente bancario, per il quale è stato concordato un saggio del 2,1% per un periodo di 9 mesi. Valutare se sarebbe stato più conveniente investirlo in BOT al 4,3% per 6 mesi.

Il primo investimento frutta un interesse pari a:

I₁ = 15.000 € x 0,021 x 9/12 = 236,25 €

Il secondo, invece, frutta un interesse pari a:

I₂ = 15.000 € x 0,043 x 6/12 = 322,50 €

La scelta migliore, ovviamente, è l’investimento in BOT, perché fornisce il maggiore compenso.

Problemi inversi

Ricerca del saggio di interesse (r)

Quando si vuole ricercare il saggio a cui è stato investito un dato capitale, noti l'interesse, il tempo e il capitale stesso, si deve utilizzare la seguente formula inversa:

ESERCIZIO 3

Si supponga di aver investito un capitale di € 65.000 per l’acquisto di un terreno agrario e che il ricavo netto annuo sia di € 1.100. Poiché il ricavo netto annuo rappresenta il compenso del capitale investito e quindi l’interesse annuo maturato, calcolare il saggio a cui è stato investito il terreno agrario.

Utilizzando la formula si ottiene il seguente risultato:

r = 1.100/65.000 x 12/12 = 0,017 (1,7%)

Ricerca del capitale iniziale (C₀)

Quando si voglia ricercare il capitale, noti il compenso netto annuo, il saggio e il tempo, si deve utilizzare la seguente formula inversa:

ESERCIZIO 4

Si supponga di avere un immobile che fornisca un compenso netto annuo pari a € 7.300; si vuol conoscere l’ammontare del capitale investito nell’immobile, sapendo che r = 0,02.

Utilizzando la formula si ottiene il seguente risultato:

C₀ = 7.300/0,02 x 12/12 = 365.000 €

Ricerca del tempo di durata dell’investimento (t)

Quando si voglia conoscere la durata di un investimento, noti l’interesse maturato, il capitale iniziale e il saggio, si deve utilizzare la seguente formula inversa:

ESERCIZIO 5

Determinare in quanto tempo un capitale di € 22.000 ha prodotto al tasso del 3% un interesse di € 330.

Utilizzando la formula si ottiene il seguente risultato:

t = 330/22.000 x 0,03 corrispondenti a 6/12 = 6 mesi

Il montante semplice

Nel caso in cui, alla fine dell'anno economico, l'interesse si sommi al capitale iniziale per dare un nuovo capitale fruttifero, questo prende il nome di ▶montante (M).

Utilizzando la formula, si ottiene la seguente espressione matematica:

da cui:

raggruppando si ottiene:

Il coefficiente in parentesi è detto anche coefficiente di posticipazione. Esso si utilizza per periodi di tempo non superiori a 1 anno.

ESERCIZIO 6

Se si deposita in un conto corrente la somma di € 4.825 al tasso del 2,7% il 1 luglio, quale somma potrà essere ritirata alla fine dell’anno?

Utilizzando la formula si ottiene il seguente risultato:

M = 4.825 € x (1 + 0,027 x 6/12) = 4.890,14 €

ESERCIZIO 7

In un’azienda agraria si raccolgono i prodotti dei campi nelle seguenti date:

- il 7 luglio cariossidi di frumento per € 3.500;

- il 10 settembre pomodoro da industria per € 8.400;

- il 20 ottobre olive per € 6.500.

Si vuol sapere quale sia l'ammontare alla fine dell'anno delle somme depositate in conto corrente al saggio del 2%.

M = 3.500€ x (1 + 0,02 x 165/360) + 8.400€ x (1 + 0,02 x 110/360) + 6.500€ x (1 + 0,02 x 70/360) = 18.507,79€

N.B. Il calcolo può essere effettuato anche in modo rapido con l’aiuto di un foglio elettronico.

Problemi inversi

Nel caso in cui si voglia ricercare il Capitale iniziale C₀ a partire dal montante semplice M, la formula da impiegare sarà la seguente:

Dove

1/1 + r x t è il coefficiente di anticipazione per periodi inferiori all'anno.

ESERCIZIO 8

Alla fine dell’ottavo mese un individuo riscuote dalla banca € 10.800. Dato che li aveva depositati con un saggio del 4%, si vuole conoscere il capitale che aveva versato all’inizio dell’anno.

Utilizzando la formula si ottiene il seguente risultato:

C₀ = 10.800 x 1/(1 + 0,04 x 8/12) = 10.516 €

Valori monetari costanti all’interno dell’anno

In caso di valori monetari costanti (ad esempio mensilità, bimestralità, trimestralità, quadrimestralità e semestralità) si può utilizzare, per il calcolo del montante, un unico coefficiente finanziario che deriva dall'applicazione di progressioni aritmetiche.

In tali situazioni particolari, per ricercare questa tipologia di montante la formula matematica da utilizzare è la seguente:

DOVE

R è il valore monetario della rata;

N è il numero delle rate (12 nel caso di mensilità, 6 nel caso di bimestralità, ecc.);

N ± 1 : si somma 1 ad N quando il valore monetario delle rate è anticipato, lo si sottrae quando il valore delle rate è posticipato.

Il termine in parentesi viene detto coefficiente di accumulazione finale di rate costanti nell'ambito dell'anno.

ESERCIZIO 9

Un capitale fondiario dà origine ogni anno ai seguenti valori monetari derivanti dai processi produttivi attivati:

Ricavi	Valori monetari (€)	Costi	Valori monetari (€)
Trimestrali	1.200	Inizio anno	1.000
Semestrali	4.300	Bimestrali anticipate	250
A fine settembre	5.000	Quadrimestrali	600
A fine anno	1.300	A fine agosto	420

Per r = 0,04 si vuol conoscere la differenza dei ricavi e delle spese alla fine dell’anno.

∑ Ricavi = 1.200 x (4 + 0,04 x 4 - 2/2) + 4.300 x (2 + 0,04 x 2 - 1/2) + 5.000 (1 + 0,04 x 3/12) + 1.300 = 20.080 €

∑ Costi = 1.000 x (1 + 0,04 x 12/12) + 250 x (6 + 0,04 x 6 - 1/2) + 600 x (3 + 0,04 x 3 - 1/2) + 420 x (1 + 0,04 x 4/12) = 4.824,46 €

∑ Ricavi - ∑ Ricavi = 15.255,54 €

N.B. Il calcolo può essere anche effettuato in modo rapido con l’aiuto di un foglio elettronico.

Il montante composto

Nella formula del montante semplice quando t è uguale a un anno (t = 12/12 = 1), il coefficiente assume la forma 1 + r che, per semplicità, viene indicato con il simbolo q. Per cui la formula del montante viene modificata in:

dove q è il coefficiente di posticipazione composto, da utilizzare per spostare un valore monetario di un periodo uguale all'anno.

Posticipando per più anni, il coefficiente di posticipazione q deve essere utilizzato alla fine di ogni anno. Ripetendo il ragionamento per un numero n di anni, si ricava il coefficiente di posticipazione qⁿ che serve per calcolare il montante alla fine del periodo.

Con un capitale iniziale pari a C₀, dopo n anni avremo un montante dato da:

dove qⁿ è il coefficiente di posticipazione composto per un numero di anni pari a n.

ESERCIZIO 10

In un ciclo produttivo di 8 anni si hanno i seguenti costi di produzione:

- a inizio ciclo € 4.000;

- a fine del terzo anno € 2.000;

- a fine del settimo anno € 800.

Si vuol conoscere il valore finale del costo di produzione per r = 0,08.

M = 4.000 x q⁸ + 2.000 x q⁵ + 800 x q

Calcolando i coefficienti avremo:

M = 4.000 x 1,850 + 2.000 x 1,4693 + 800 x 1,08 = 11.202 €

Problemi inversi

Per ricercare il capitale iniziale C₀, a partire dal montante M, si devono utilizzare le seguenti formule inverse:

dove 1/q è il coefficiente di anticipazione per un periodo uguale all'anno.

ESERCIZIO 11

Facendo riferimento all’Esercizio 10, si vuol conoscere il valore iniziale del costo di produzione al saggio dell’8%.

C₀ = 11.202 x 1/q⁸

Calcolando il coefficiente avremo:

C₀ = 11.202 x 0,5402 = 6.051,32 €

Casi pratici particolari

In molti casi può capitare di trovare, in periodi superiori all'anno, sia valori posizionati a inizio o fine anno che valori localizzati in momenti intermedi. In questi casi il calcolo del montante composto dovrà essere affrontato in due momenti consecutivi.

Le somme che si trovano in momenti intermedi dovranno per prima cosa essere posticipate, utilizzando le formule del montante semplice per spostarle alla fine dell'anno corrispondente, e poi dovranno essere posticipate con la formula del montante composto.

ESERCIZIO 12

In un ciclo produttivo di 8 anni si hanno i seguenti costi di produzione:

- a inizio ciclo € 4.000;

- dopo un anno e mezzo € 3.000;

- alla fine del terzo anno € 2.000;

- alla fine del settimo anno e 8 mesi € 800.

Si vuol conoscere il valore finale del costo di produzione per r = 0,08.

M = 4.000 x q⁸ + 3.000 x (1 + 0,08 x 6/12) x q⁶ + 2.000 x q⁵ + 800 x (1 + 0,08 x 4/12)

Calcolando i coefficienti avremo:

M = 4.000 x 1,850 + 3.000 x (1 + 0,08 x 6/12) x 1,586 + 2.000 x 1,4693 + 800 x (1 + 0,08 x 4/12) = 16.107,12 €

N.B. A conclusione di questa prima parte si può formulare una regola generale, ovvero il principio finanziario della contemporaneità: per poter sommare, sottrarre o confrontare valori disponibili in epoche diverse è necessario trasferirli allo stesso momento o epoca di riferimento. I coefficienti finora considerati servono appunto a effettuare gli opportuni trasferimenti nel tempo.

STOP E SINTESI

L’interesse e i suoi aspetti matematici

Che cosa si intende per interesse?

Per interesse, detto anche prezzo d'uso del capitale, si intende il compenso che spetta al capitale in virtù dell'uso che ne viene fatto e dipende dalla quantità, dalla tipologia e dal tempo.

Il montante semplice

Da che cosa è generato il montante semplice?

Il montante si forma dalla somma del capitale investito più l'interesse da questo generato alla fine dell'anno.

Come si definisce il coefficiente del montante semplice?

È definibile anche come coefficiente di posticipazione in quanto serve a spostare avanti nel tempo le somme di denaro.

STOP AND SUMMARY

Interest and its mathematical aspects

What is interest?

Interest, or capitai use cost, is the actual price of the capitai and increases or decreases according to the way it is employed. This cost depends on time, quanti-ty and the type of investment.

Principal and interest (also called simple amount)

Where does the simple amount come from?

It is the sum of invested capital and its generated interest, within the end of the year.

How is the simple amount coefficient determined?

It is also called ‘postponing coefficient’, since it is used to move forward sums of money.

ECONOMIA E AGROSISTEMI

VOLUME 2