2.1• Nozione di probabilità
Per probabilità di un evento si intende il rapporto fra il numero dei casi favorevoli all’evento e il numero dei casi ugualmente possibili.
Se, ad esempio, volessi conoscere la probabilità di riuscire ad estrarre da un mazzo di carte una figura, basterebbe calcolare il rapporto fra 40 (numero di carte in un mazzo) e 12 (numero di figure in un mazzo) ovvero:
12/40 = 0,3
cioè ho il 30% di probabilità che venga estratta dal mazzo una figura.
APPROFONDIMENTO - Introduzione alla metodologia statistica
Un imprenditore, per poter svolgere la sua attività, spesso si trova nelle condizioni di dover effettuare scelte e di verificare l’andamento della produzione, della logistica, dei mercati e gli aspetti finanziari e tecnici della gestione come, ad esempio, l’efficacia delle pratiche agricole.
Per questo è necessario saper utilizzare gli strumenti forniti dalla statistica, o meglio la metodologia statistica che, partendo da grandi quantità di informazioni, spesso difficilmente gestibili, permette di quantificare la misura di un fenomeno o di un evento.
In questo modo si possono ottenere previsioni sui futuri sviluppi del sistema-azienda in quanto vengono elaborati i risultati provenienti dalle diverse attività che in essa vengono svolte.
Lo strumento statistico dispone di diverse impostazioni metodologiche che permettono di elaborare ricerche aziendali:
• interne, che riguardano cioè l’organizzazione e la gestione e sono quindi basate su dati di provenienza esclusivamente aziendali;
• esterne, basate su elementi provenienti dall’ambiente economico in cui opera l’azienda, come ad esempio dalla concorrenza, dai mercati, dalle banche, ecc.
In tutti i casi, i dati disponibili, permettono di trarre conclusioni logiche (previsioni) con una predeterminata possibilità di errore e si possono poi sintetizzare con strumenti grafici, come istogrammi, diagrammi a barre o a torta, che mettono in evidenza gli aspetti salienti del fenomeno indagato.
La probabilità di un evento dovuta al concorso di altri eventi, indipendenti fra loro, è uguale al prodotto delle probabilità di questi ultimi ( probabilità composta).
Se ad esempio vogliamo conoscere la probabilità di estrarre una coppia di numeri (25 e 26) da due urne del gioco del lotto, avremo:
1/90 x 1/90 = 1/8100
Se due o più fenomeni si escludono reciprocamente, la possibilità che si avveri uno o l’altro è uguale alla somma delle rispettive probabilità (probabilità totale).
Ad esempio, nel gioco dei dadi, sulla base della probabilità composta e totale, si dice che la probabilità di ottenere due punti (cioè l’uscita di due facce con il numero 1) è: 1/36 ottenuta da:
1/6 x 1/6
La probabilità, invece, di realizzare tre punti è pari a 2/36 poiché le uscite possibili in ambo i dadi sono 1 - 2 e quindi:
1/36 + 1/36 = 2/36
Per contro, la probabilità di ottenere quattro punti è 3/36 poiché le uscite possibili delle coppie di dadi sono:
2 - 2 3 - 1 1 - 3
cioè
1/6 x 1/6 + 1/6 x 1/6 + 1/6 x 1/6 = 3/36
e così via.
Casi di interesse particolare sono dati da due fenomeni alternativi, uno dei quali esclude il verificarsi dell’altro.
Se con p si indica la probabilità di avverarsi di A e con q quella di B (il contrario di A) avremo:
p + q = 1
Nel caso si eseguano due prove avremo 3 combinazioni possibili: AA, BB, AB.
Dato che A ha probabilità p di verificarsi, la probabilità composta che si verifichi due volte è:
p x p = p2
E altrettanto vale per B.
La terza combinazione ha due forme: AB ovvero BA delle quali la probabilità composta è pq e la totale e 2pq.
Le probabilità delle diverse combinazioni sono dunque:
p2 + 2pq + q2 = (p + q)2
In definitiva, lo schema probabilistico delle combinazioni di due elementi in n prove ripetute, segue lo sviluppo del binomio di Newton (a + b)n, cioè un polinomio omogeneo di grado n ordinato secondo le potenze decrescenti di a e crescenti di b con i coefficienti desumibili dal triangolo di Tartaglia.
Ad esempio se in un’urna abbiamo 100 palline uguali, 50 bianche e 50 nere e ci domandiamo quale probabilità abbiamo di estrarne una di colore bianco (o nero) in 4 prove, basterà svolgere il binomio (1/2 + 1/2)2 che fornisce il seguente risultato:
1/16 + 4/16 + 6/16 + 4/16 + 1/16
cioè
6,25%; 25%; 37,5%; 25%; 6,25%
La traduzione grafica della distribuzione di sopra riportata da luogo ad una curva simmetrica a campana ( curva di Gauss). Vedremo meglio in seguito la sua costruzione e interpretazione.
Figura 2 • Andamento grafico della distribuzione normale o curva di Gauss.