1.6 Le periodicità limitate, illimitate, posticipate, anticipate e le loro accumulazioni

1.6 • Le periodicità limitate, illimitate, posticipate, anticipate e le loro accumulazioni

Periodicità sono valori monetari che si ripetono costantemente ogni certo numero di anni all'inizio (anticipate) o alla fine (posticipate) del periodo
possono essere 
ANTICIPATE O POSTICIPATE LIMITATE 
ANTICIPATE O POSTICIPATE ILLIMITATE 
I quesiti finanziari
• Ricerca della loro accumulazione finale
• Ricerca della loro accumulazione iniziale
• Ricerca della loro accumulazione intermedia 

Le poliannualità sono valori monetari che si ripetono costantemente ogni certo numero di anni. Relativamente al momento in cui si verificano possono essere anticipate (se si verificano all’inizio del periodo) o posticipate (se si verificano alla fine del periodo).
Relativamente al tempo, possono essere limitate (se si ripetono per un numero finito di volte) o illimitate (se si ripetono con una determinata frequenza, ma illimitatamente nel tempo).



Figura 8 • Rappresentazione grafica delle poliannualità posticipate limitate (normalmente è in uso la seconda rappresentazione).


Figura 9 • Rappresentazione grafica delle poliannualità anticipate limitate (normalmente è in uso la seconda rappresentazione).


Figura 10 • Rappresentazione grafica delle poliannualità posticipate illimitate (normalmente è in uso la seconda rappresentazione).


Figura 11 • Rappresentazione grafica delle poliannualità anticipate illimitate (normalmente è in uso la seconda rappresentazione).

I quesiti finanziari che si presentano nella trattazione delle poliannualità sono di tre tipi:
1. ricerca dell’accumulazione finale: ovvero la sommatoria finale di valori monetari poliennali di un periodo limitato;
2. ricerca dell’accumulazione iniziale: ovvero la sommatoria iniziale di valori monetari poliennali di un periodo limitato o illimitato;
3. ricerca dell’accumulazione intermedia: ovvero la sommatoria intermedia di valori monetari poliennali di un periodo limitato.

Ricerca dell’accumulazione finale di poliannualità limitate

Si tratta di sommare valori monetari poliennali alla fine di un periodo di tempo limitato.


Iniziamo considerando il caso delle poliannualità o periodicità posticipate.
Si indica con n il numero degli anni che costituiscono il periodo poliennale e con t il numero dei periodi considerati.
Il calcolo, allora, può essere eseguito utilizzando di nuovo il coefficiente del montante; ogni poliannualità P viene trasferita alla fine del periodo con una potenza di qn corrispondente al numero di periodi che costituisce lo spostamento temporale. Siccome si tratta di una progressione geometrica di ragione qn, il problema può essere risolto con un unico coefficiente riassuntivo, derivante da:

Questa formula si può scrivere anche:

Ciò facilita il calcolo quando si adoperano le tavole finanziarie per la ricerca dei coefficienti, conoscendo il saggio. Meglio l’uso di un foglio elettronico opportunamente predisposto, valido per un valore del saggio qualsiasi e per un generico numero di anni.

ESERCIZIO 19

Calcolare i ricavi finali di un bosco ceduo che ha una durata economica di 96 anni e fornisce un ricavo periodico costante ogni 16 anni di 35.000 €, sapendo che r = 0,04.

Il numero n è rappresentato da 16 anni. Il numero dei periodi t si ottiene dividendo la durata economica per n. Ovvero:
t = 96/16 = 6
Applicando la formula, si ottiene:


Per quanto riguarda le poliannualità anticipate, il coefficiente di accumulazione finale rimane lo stesso; si deve soltanto posticipare la poliannualità (P = P x qn) . Quindi:


ESERCIZIO 20

Un capitale è investito in buoni fruttiferi per 16 anni e fornisce un reddito biennale anticipato costante di 6.000 €. Sapendo che r = 0,05 calcolare il reddito netto finale e il reddito medio annuo.
Utilizzando la formula e il foglio elettronico, avremo:

Il reddito medio annuo si calcola con la media economica o coefficiente della reintegrazione.
Quindi:

Ricerca dell’accumulazione iniziale di poliannualità limitate

Si tratta di sommare valori monetari poliennali all’inizio di un periodo limitato.


Iniziamo considerando il caso delle annualità posticipate.
Il calcolo può essere eseguito utilizzando il coefficiente di anticipazione; ogni poliannualità viene trasferita all’inizio del periodo con una potenza di 1/qn corrispondente al numero di periodi che costituisce lo spostamento temporale. Siccome si tratta di una progressione geometrica di ragione 1/qn, il problema può essere risolto con un unico coefficiente riassuntivo:

(qt x n - 1)/(qn - 1) x 1/qt x n

Dove:
n è il numero di anni in un periodo.
t è il numero di periodi.

Pertanto, per eseguire l’accumulazione iniziale di un certo numero t di poliannualità, si dovrà moltiplicare il valore della singola poliannualità P per il suddetto coefficiente di accumulazione iniziale delle poliannualità costanti limitate posticipate:
S0 = P x (qt x n - 1)/(qn - 1) x 1/qt x n

Al coefficiente riassuntivo si arriva attraverso la risoluzione della seguente progressione geometrica:

Per un veloce uso del coefficiente si possono adoperare le tavole finanziarie, conoscendo il saggio. Meglio l’uso di un foglio elettronico opportunamente predisposto, valido per un valore del saggio qualsiasi e per un generico numero di anni.

ESERCIZIO 21

Determinare il capitale, che messo a frutto al tasso del 4%, consente di sostenere una spesa di manutenzione di un fabbricato per 4.500 € ogni 2 anni, fino al 14° anno.

Applicando la formula, si ottiene:

I coefficienti 8,9667 e 0,5775 si sono ottenuti utilizzando il foglio elettronico, o le tavole, per r = 0,04, per n = 2 e per t = 7, cioè per 7 periodicità di 2 anni ciascuna.


Per quanto riguarda le poliannualità anticipate, il coefficiente di accumulazione iniziale rimane lo stesso; si deve soltanto posticipare la poliannualità, cioè portare il valore monetario della poliannualità dall’inizio alla fine del periodo, (P = P x qn) . Quindi:


ESERCIZIO 22

Per la manutenzione di una diraspatrice si prevede una spesa biennale di 250 €. Si vuol conoscere il capitale iniziale da investire oggi al saggio dell’6% per garantire l’efficienza della macchina per 10 anni.

Utilizzando la formula e il foglio elettronico, avremo:

Ricerca dell’accumulazione intermedia di poliannualità limitate

Si tratta di accumulare le poliannualità in un momento intermedio del periodo considerato.


Iniziamo considerando il caso di poliannualità posticipate.
Possiamo calcolare l’accumulazione intermedia partendo sia da S0 che da Stn.
Nel primo caso non dobbiamo far altro che portare l’accumulazione iniziale S0 con un coefficiente di posticipazione o del montante al momento intermedio di m anni. Quindi, avremo:

Nel secondo caso, è necessario portare l’accumulazione finale St x n indietro di t x n - m anni, attraverso il coefficiente di anticipazione. Quindi, avremo:

Naturalmente, i due risultati devono essere uguali.
Considerando, invece, il caso di poliannualità anticipate, è sufficiente posticipare la poliannualità e applicare i coefficienti sopra riportati. Per cui, si avrà:

partendo dall’accumulazione iniziale.
Se invece si parte da quella finale, si ottiene

ESERCIZIO 23

Un fondo, in 6 anni, ha subito un danno triennale costante da inondazione di 8.500 €. Si prevede lo stesso danno ancora per 3 volte. Per r = 0,03, si vuole conoscere ad oggi a quanto ammonta il danno.

Partendo dall’accumulazione iniziale si ottiene:

Allo stesso risultato si giunge partendo dall’accumulazione finale:

ESERCIZIO 24

Ogni 4 anni, anticipatamente e per 3 volte, dovranno essere pagati 10.000 € per l’impianto di un arboreto. Se alla fine del secondo periodo si volessero saldare tutte le spese al 5%, quanto si dovrebbe versare?

Ricerca dell’accumulazione iniziale di poliannualità illimitate

Anche in questo caso si distinguono in poliannualità posticipate e anticipate.
Avremo:

Al coefficiente riassuntivo si arriva di nuovo attraverso la risoluzione di una progressione geometrica di ragione 1/qn, ma con infiniti termini:


In sostanza, per trovare l’accumulazione iniziale di annualità costanti posticipate illimitate, basta moltiplicare la poliannualità per il coefficiente dell’accumulazione iniziale delle poliannualità posticipate illimitate.


Ovvero:
S0 = P x 1/qn - 1

Se invece le annualità sono anticipate, avremo:
S0 = P x qn x 1/qn - 1

Queste formule sono utili nella ricerca di valori di beni che producono redditi costanti poliennali illimitati, tipo i fondi agrari con indirizzo a colture poliennali.
Infatti esse sono anche chiamate formule della capitalizzazione, cioè forniscono il capitale iniziale sulla base dei redditi poliennali. Per questo, l’espressione è anche:
V0 = P/qn - 1
V0 = (P x qn)/(qn - 1)

L’espressione 1/qn - 1 è detta coefficiente della capitalizzazione per redditi poliennali illimitati.

ESERCIZIO 25

Un fondo a indirizzo arboreo fornisce ogni 12 anni 60.000 € posticipati. Si vuole conoscere il valore dell’accumulazione iniziale di detti redditi, ovvero il valore del capitale fondiario, per r = 0,03.

Questo risultato corrisponde approssimativamente anche al valore di mercato del fondo (cioè V0).



Figura 12 • Esempio di fondo agrario, con indirizzo a colture poliennali.

STOP E SINTESI
Le periodicità limitate, illimitate, posticipate, anticipate e le loro accumulazioni
Che cosa si intende per periodicità o poliannualità?
Le poliannualità sono valori monetari che si ripetono costantemente ogni certo numero di anni e, come le annualità, possono essere anticipate o posticipate.
STOP AND SUMMARY
Limited, unlimited, postponed periodical fees and their accumulation
What is a periodical or pluriannual fee?
Pluriannual fees are sums of money that are reiterated every given number of years and, like annuities, they can be pre-paid or postponed.

ECONOMIA E AGROSISTEMI
ECONOMIA E AGROSISTEMI
VOLUME 1