1.5 Le annualità limitate, illimitate, posticipate, anticipate e le loro accumulazioni

1.5 • Le annualità limitate,illimitate, posticipate, anticipate e le loro accumulazioni

Annualità sono valori monetari che si ripetono costantemente ogni anno all'inizio (anticipate) o alla fine (posticipati), possono essere:
- Anticipate o posticipate limitate
- Anticipate o posticipate illimitate

i quesiti finanziari:
- Ricerca della Loro accumulazione finale 
- Ricerca della loro accumulazione iniziale 
- Ricerca della loro accumulazione intermedia

Le annualità, o rate annue, sono valori monetari che si ripetono costantemente ogni anno. Relativamente al momento in cui si verificano possono essere anticipate (se si verificano all’inizio dell’anno) o posticipate (se si verificano alla fine dell’anno).
Relativamente al tempo, possono essere limitate (se si ripetono per un numero di anni finito) o illimitate (se si ripetono illimitatamente nel tempo).



Figura 4 • Rappresentazione grafica delle annualità posticipate limitate (normalmente è in uso la seconda rappresentazione).


Figura 5 • Rappresentazione grafica delle annualità anticipate limitate (normalmente è in uso la seconda rappresentazione).


Figura 6 • Rappresentazione grafica delle annualità posticipate illimitate (normalmente è in uso la seconda rappresentazione).


Figura 7 • Rappresentazione grafica delle annualità anticipate illimitate (normalmente è in uso la seconda rappresentazione).

I quesiti finanziari che si presentano nella trattazione delle annualità sono di tre tipi:
1. ricerca dell’accumulazione finale: consiste nella ricerca del cumulo finale di valori monetari annuali di un periodo costituito da un certo numero limitato di anni;
2. ricerca dell’accumulazione iniziale: consiste nella ricerca del cumulo iniziale di valori monetari annuali di un periodo costituito da un certo numero, limitato o illimitato, di anni;
3. ricerca dell’accumulazione intermedia: consiste nella ricerca del cumulo intermedio di valori monetari annuali di un periodo costituito da un certo numero limitato di anni.

Ricerca dell’accumulazione finale di annualità limitate

Consiste nella somma dei valori monetari annui, effettuata alla fine di un periodo poliennale limitato.


Iniziamo considerando il caso delle annualità posticipate (Fig. 4).
Il calcolo può essere eseguito utilizzando il coefficiente del montante; ogni annualità viene trasferita alla fine del periodo con una potenza di q corrispondente al numero di anni di cui è composto lo spostamento temporale.
Siccome si tratta di una progressione geometrica di ragione q, il problema può essere risolto con un unico coefficiente riassuntivo:
qn - 1/r

Dove:
r è il saggio.
q è uguale a 1 + r.
n è uguale al numero delle annualità, ovvero di anni.

Pertanto, per eseguire l’accumulazione finale di un certo numero n di annualità, si dovrà moltiplicare il valore della singola annualità a per il suddetto coefficiente di accumulazione finale delle annualità costanti limitate posticipate:
Sn = a x (qn - 1)/r

Al coefficiente riassuntivo si arriva attraverso la risoluzione della seguente progressione geometrica:

Per un veloce uso del coefficiente si possono adoperare le tavole finanziarie, conoscendo il saggio. Meglio l’uso di un foglio elettronico opportunamente predisposto, valido per un valore del saggio qualsiasi e per un generico numero di anni.

ESERCIZIO 9

Per un investimento fondiario si spendono per 6 anni e alla fine di ogni anno 2.160 €.
Si vuol conoscere la somma complessivamente spesa alla fine del sesto anno per r = 0,06.

Applicando la formula, si ottiene:

Il coefficiente 6,975 è stato ottenuto utilizzando il foglio elettronico impostato per r = 0,06 e per n = 6, cioè per 6 annualità.
L’inverso del coefficiente di accumulazione finale dà origine al coefficiente della reintegrazione.
La reintegrazione è un processo finanziario mediante il quale si ricostituisce, con rate annue costanti posticipate, il capitale speso. Essa consente quindi di ricostruire il capitale consumato in un certo numero di anni.
Il coefficiente è dato da:
r/qn - 1

e moltiplicato per il valore monetario del capitale, fornisce l’ammontare della rata annua da accantonare per la ricostruzione del capitale stesso.
Quindi avremo che:
Qr = V0 x r/qn - 1

Dove:
Qr è la quota annua di reintegrazione.
V0 è il valore del capitale iniziale, detto anche valore da reintegrare.

Anche in questo caso, per un veloce uso del coefficiente si possono adoperare le tavole finanziarie, conoscendo il saggio. Meglio però l’uso di un foglio elettronico opportunamente predisposto, valido per un valore del saggio qualsiasi e per un generico numero di anni.

ESERCIZIO 10

Una macchina acquistata per 18.000 € nel 2000, verrà utilizzata per 7 anni. Al saggio del 5% si vuole conoscere la quota annua di reintegrazione della macchina, ovvero la quantità di moneta annua da accantonare per ricostruire il capitale speso alla fine del periodo settennale.

Il coefficiente della reintegrazione è anche chiamato coefficiente della media economica perché trasforma valori finali in valori medi annui.

ESERCIZIO 11

Stabilire il ricavo medio annuo di una fustaia che alla fine del dodicesimo anno ha prodotto ricavi per 52.000 € per r = 0,05.
V0 x r/q12 - 1 = 52000 x 0,062825 = 3267 Ricavi medi annui della fustaia

Per quanto riguarda le annualità anticipate, il coefficiente di accumulazione finale rimane lo stesso; si deve soltanto posticipare l’annualità, cioè portare il valore monetario dell’annualità dall’inizio alla fine dell’anno (a = a x q) . Quindi:
Sn = a x q x (qn - 1)/r

ESERCIZIO 12

All’inizio di ogni anno e per otto anni, si devono versare 6.000 € a una assicurazione. 
Per r = 0,05, si vuole conoscere l’ammontare versato.

Utilizzando la formula e il foglio elettronico, avremo:

Ricerca dell’accumulazione iniziale di annualità limitate

Consiste nell’effettuare la somma dei valori monetari annui all’inizio di un periodo poliennale limitato.


Iniziamo considerando il caso delle annualità posticipate.
Il calcolo può essere eseguito utilizzando il coefficiente di anticipazione; ogni annualità viene trasferita all’inizio del periodo con una potenza di 1/q corrispondente al numero di anni di cui è composto lo spostamento temporale.
Siccome si tratta di una progressione geometrica di ragione 1/q, il problema può essere risolto con un unico coefficiente riassuntivo:
qn - 1/r x qn

Dove:
r è il saggio.
q è uguale a 1 + r.
n è uguale al numero delle annualità.

Pertanto, per eseguire l’accumulazione iniziale di un certo numero n di annualità, si dovrà moltiplicare il valore della singola annualità a per il suddetto coefficiente di accumulazione iniziale delle annualità costanti limitate posticipate:
S0 = a x (qn - 1)/(r x qn)

Al coefficiente riassuntivo si arriva attraverso la risoluzione della seguente progressione geometrica:

In sostanza, il calcolo è simile a quello eseguito precedentemente, solo che la ragione è adesso 1/q. Per un veloce uso del coefficiente si possono adoperare le tavole finanziarie, conoscendo il saggio. Meglio l’uso di un foglio elettronico opportunamente predisposto, valido per un valore del saggio qualsiasi e per un generico numero di anni.

ESERCIZIO 13

Sono rimaste da pagare tre annualità posticipate di 1.800 € ciascuna, per l’estinzione di un debito ipotecario. Il debitore vuole pagare subito le tre annualità: stabilire l’ammontare del pagamento per r = 0,07.

Applicando la formula, si ottiene:

Il coefficiente 2,6343 è stato ottenuto utilizzando il foglio elettronico impostato per r = 0,07 e per n = 3, cioè per 3 annualità.

Ammortamento

L’inverso del coefficiente di accumulazione iniziale dà origine al coefficiente di ammortamento.
L’ammortamento è un processo finanziario mediante il quale si suddivide un debito in rate annue costanti posticipate. Le rate sono calcolate come media economica tra il capitale e il totale degli interessi maturati durante tutto il periodo considerato.


Il coefficiente è dato da:
r x qn / qn - 1

e moltiplicato per il valore monetario del debito, fornisce l’ammontare della rata annua costante da restituire per l’estinzione del debito. Quindi avremo che:
Qa = V0 x (r x qn)/(qn - 1)

Dove:
Qa è la quota annua di ammortamento.
V0 è il valore dell’ammontare del debito da estinguere.

Per un veloce uso del coefficiente si possono adoperare le tavole finanziarie, conoscendo il saggio, oppure un foglio elettronico opportunamente predisposto, valido per un valore del saggio qualsiasi e per un generico numero di anni.

ESERCIZIO 14

Un imprenditore ha chiesto a un Istituto di credito un mutuo di 35.000 € per impiantare un pescheto, da estinguere al 4% in 15 anni. Determinare l’ammontare della quota di restituzione annua.


Mediante le quote di ammortamento si redige il piano di ammortamento, nel quale, anno per anno, si indicano la rata annua costante, la quota di interessi e di capitale in esso comprese, nonché l’ammontare del debito residuo e di quello estinto.
Per la sua compilazione è utile impostare opportunamente un foglio elettronico e procedere come segue:
1. si calcola la rata di ammortamento con la formula sopra riportata (risoluzione dell’Esercizio 14); detta rata rimane costante in tutto il periodo;
2. si calcola la quota interessi, moltiplicando il valore del debito residuo per il saggio impiegato;
3. detraendo dalla rata la quota interessi, si ottiene la quota capitale;
4. il debito estinto corrisponde alla quota capitale, per il primo anno; successivamente, si ottiene sommando la quota capitale al debito estinto dell’anno precedente;
5. il debito residuo si ottiene detraendo il debito estinto da quello iniziale.


Tabella 1 • Esempio del piano di ammortamento proposto nell’Esercizio 14.

Per quanto riguarda le annualità anticipate, il coefficiente di accumulazione iniziale rimane lo stesso; si deve soltanto posticipare l’annualità e cioè portare il valore monetario dell’annualità dall’inizio alla fine dell’anno (a = a x q) . Quindi:
S0 = a x q x (qn - 1)/(r x qn)

ESERCIZIO 15

Per la manutenzione dei fabbricati rurali di un’azienda, si prevede la spesa annua anticipata di 2.250 € per 15 anni. Calcolare il capitale iniziale che, investito oggi al saggio dell’8%, è in grado di finanziare le spese di manutenzione.
Utilizzando la formula e il foglio elettronico, avremo:

Ricerca dell’accumulazione intermedia di annualità limitate

Si tratta di accumulare le annualità in un momento intermedio del periodo poliennale limitato.


Iniziamo considerando il caso di annualità posticipate.
Possiamo calcolare l’accumulazione intermedia partendo sia da S0 che da Sn.
Nel primo caso non dobbiamo far altro che portare l’accumulazione iniziale S0 con un coefficiente di posticipazione o del montante, al momento intermedio m.

Quindi, avremo:
Sm = S0 x qm

ovvero:
Sm = a x (qn - 1)/(r x qn) x qm

Nel secondo caso, è necessario portare l’accumulazione finale Sn indietro di n-m anni, attraverso il coefficiente di anticipazione. Quindi, avremo:

Naturalmente, i due risultati devono essere uguali.
Considerando, invece, il caso di annualità anticipate, è sufficiente posticipare l’annualità, cioè portare il valore monetario dell’annualità dall’inizio alla fine dell’anno (a = a x q) , e applicare il coefficiente di accumulazione intermedia sopra riportato. Per cui, si avrà:
Sm = S0 x qm

ovvero:
Sm = a x q x (qn - 1)/(r x qn) x qm

partendo dall’accumulazione iniziale. Se invece si parte da quella finale, si ottiene:


ESERCIZIO 16

Un fondo subisce un danno annuo costante di 6.200 € che si è ripetuto negli ultimi 3 anni. Pur effettuando le manutenzioni si prevede che anche nei successivi 4 anni si avrà lo stesso danno. Per r 5 0,05, calcolare a quanto ammonta ad oggi il danno.

ESERCIZIO 17

Ogni anno, anticipatamente e per 12 anni consecutivi, dovranno essere pagati 5.000 € per l’acquisto di un fabbricato. Se al quinto anno si volesse saldare il debito per r = 0,08, quanto si dovrebbe versare?

Ricerca dell’accumulazione iniziale di annualità illimitate

Anche in questo caso si distinguono in annualità posticipate e anticipate.
Se le annualità sono posticipate, avremo:

Al coefficiente riassuntivo si arriva di nuovo attraverso la risoluzione di una progressione geometrica di ragione 1/q, ma con infiniti termini:

In sostanza, per trovare l’accumulazione iniziale di annualità costanti posticipate illimitate, basta dividere l’annualità per il saggio, ovvero:
S0 = a/r

Se invece le annualità sono anticipate, è sufficiente posticipare l’annualità, cioè portare il valore monetario dell’annualità dall’inizio alla fine dell’anno (a = a x q), e utilizzare di nuovo la formula precedente:
A0 = a x q/r

Queste formule sono utili per la ricerca di valori di beni che producono redditi costanti annui illimitati, tipo i fondi agrari e i fabbricati. Infatti, esse sono anche chiamate formule della capitalizzazione, cioè forniscono il capitale iniziale sulla base dei redditi futuri.


Per questo, l’espressione è anche:
V0 = a/r
V0 = a x q/r

ESERCIZIO 18

Un fondo rustico fornisce annualmente un reddito di 24.000 € annui posticipati.
Si vuole conoscere l’accumulazione iniziale di detti redditi, considerandoli illimitati e per r = 0,03.

Questo risultato corrisponde approssimativamente anche al valore di mercato del fondo (cioè V0).

STOP E SINTESI
Le annualità limitate, illimitate, posticipate, anticipate e le loro accumulazioni
Che cosa sono le annualità?
Sono somme di denaro che si ripetono costantemente ogni anno e possono essere anticipate o posticipate.
Qual è la differenza fra annualità anticipate e posticipate?
In base al momento in cui si verificano possono essere: anticipate se sono all’inizio dell’anno o posticipate se invece sono alla fine dell’anno.
Che cosa significa capitalizzare una somma di denaro?
Per capitalizzazione si intende accumulare all’inizio dell’anno una annualità illimitata che fornisce il capitale iniziale sulla base dei redditi futuri.

STOP AND SUMMARY
Limited, unlimited, postponed, pre-paid annuities and their accumulation
What are ‘annuities’?
They are a sums of money reiterated on yearly basis.
They can be pre-paid or postponed.
What is the difference between pre-paid and postponed annuities?
It depends on when they are due: they are called prepaid at the beginning and postponed at the end of the year.
What does ‘capitalize a sum of money’ mean?
By capitalization we mean storing an unlimited annuity which will provide the start-up capital, based on future income.

ECONOMIA E AGROSISTEMI
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VOLUME 1